新定义“等边旋转点”——海淀区九上数学第28题

新定义“等边旋转点”

海淀区九上数学第28题

旋转变换三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角，若点A绕点O逆时针旋转α得到点B，则相应的，点B绕点O顺时针旋转α得到点A，当这个α为特殊角例如60°时，旋转前后的点A，点B，以及旋转中心O，还有更多相互得到的方式，当然无论哪一种，始终需明确三要素是什么。

题目

在平面直角坐标系xOy中，圆O的半径为2，对于点P，Q和圆O的弦AB，给出如下定义：

若弦AB上存在点C，使得点P绕点C逆时针旋转60°后与点Q重合，则称点Q是点P关于弦AB的“等边旋转点”.

(1)如图，点P（-2，0），直线x=1与圆O交于点A，B.

①点B的坐标为__________，点B________（填“是”或“不是”）点P关于弦AB的“等边旋转点”；

②若点P关于弦AB的“等边旋转点”为点Q，则PQ的最小值为_________，当PQ与圆O相切时，点Q的坐标为___________；

(2)已知点D（t，0），E（-1，0），若对于线段OE上的每一点M，都存在圆O的长为2√3的弦GH，使得点M是点D关于弦GH的“等边旋转点”，直接写出t的取值范围.

解析：

01

(1)①连接OB，构造特殊Rt△BOD，如下图：

容易得到B(1,-√3)；为验证点B是否点P关于弦AB的“等边旋转点”，我们需要在弦AB上找一个点，将点P绕这个点逆时针旋转60°，与点B重合，这个点恰好是点A，如下图：

所以点B是点P关于弦AB的“等边旋转点”；

②我们在弦AB上任意取点C，并以点C为旋转中心，将点P绕点C逆时针旋转60°得到点Q，如下图：

显然△PCQ是等边三角形，当我们连接PA和PB时，我们又得到一个等边三角形，连接BQ，得到一对全等三角形，如下图：

易证△APC≌△BPQ，可得∠PAC=∠PBQ=60°，由于BP为定弦，则BQ与BP夹角始终为60°，于是点Q一定在BQ所在直线上，根据垂线段最短，当PQ⊥BQ时，PQ最小，如下图：

当PQ最小时，PC也最小，且点C恰好在x轴上，因此PC=3，即PQ最小值为3；

当PQ与圆O相切时，如下图：

此时点C与点B重合，PQ=PC=AB=2√3，因此可求得Q(-2,-2√3)；

02

(2)由题目条件可知点D在x轴上，点E为定点，OE长为1，弦GH长为2√3，恰好与上一小题中的弦AB相等，这样的弦在圆O中位于什么地方？

定弦在圆中的位置，我们在课堂上曾经研究过，也举过相应的实例，当我们将一根筷子平放在圆盘中，保持筷子两端在圆盘边上，它在圆中扫过的区域是一个圆环，如下图：

我们再来理解这句话“点M是点D关于弦GH的‘等边旋转点’”，点M在线段OE上，点D在x轴上，旋转中心在圆环内某点，旋转方向是逆时针，旋转角是60°；

以上关键信息，点D，线段OE，圆环。

点D绕圆环中某点逆时针旋转60°，得到线段OE，如下图：

但我们并不清楚旋转中心在圆环哪个位置，因此这种理解并不方便作图研究，我们需要它的等价命题；

等价命题一（方法一）：

线段OE绕点D逆时针旋转60°，全部落在圆环内，如下图：

等价命题二（方法二）：

圆环绕点D顺时针方向旋转60°，覆盖线段OE，如下图：

0 1

方法一：

随着点D位置不同，线段OE绕点D逆时针旋转60°后，轨迹如图所示，而要满足线段O'E'完全在圆环内，我们需要找几处关键位置，第一处，当点O'在外圆上，如下图：

此时△ODO'是等边三角形，OD=OO'=2，即t=-2；

第二处，当线段O‘E’与内圆相切，如下图：

此时△ODO'仍然是等边三角形，可知ON=1，则OD=2√3/3，即t=-2√3/3；

第三处，当线段O'E'的端点O'在内圆上，如下图：

此时OD=1，即t=1；

第四处，当线段O'E'的端点E'在外圆上，如下图：

此时DE=t+1，DN=EN=1/2(t+1)，E‘N=√3/2(t+1)，OE'=2，于是ON=1/2(t+1)-1=1/2(t-1)，在Rt△OE'N中由勾股定理列方程得1/4(t-1)²+3/4(t+1)²=4，解得t=-1/2+√13/2；

所以满足条件的t的取值范围是-2≤t≤-2√3/3，1≤t≤-1/2+√13/2.

0 2

方法二：

将圆环绕点D顺时针旋转60°，我们同样可以找到圆环完全覆盖线段OE的四处特殊位置，分别如下图：

计算方法与方法一相同，不再重复，结果仍然是-2≤t≤-2√3/3，1≤t≤-1/2+√13/2.

解题思考：

学生解题感到困难的地方在于，旋转三要素若是确定的，则非常轻松，一旦旋转中心不确定，则学生不知道如何作图，更无从建立动态模型，这十分考验学生构图能力，事实上本题的旋转，并非简单的点、线绕旋转中心旋转，而是一个区域，即某个图形绕旋转中心旋转，所以在学习旋转变换的时候，课堂上应给予学生作图操作的机会，去体验旋转前后图形的位置关系，这比起简单看演示效果要好得多。

另外在解题过程中，我们还需要逆向思维，旋转中心和旋转前后的图形间，若存在等价变换，那么利用新的变换来代替原有变换，不失为一种新的解题思路。