你是怎么把必赚的机会做成亏损的？

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这个机会，能不能参与？如何参与？

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送钱机还是送命机

一个按钮，按下50%概率把你所有资产打1折，50%概率把你所有资产变9倍，那么这个按钮应该按吗？

这个题目乍一看，是经典的数学期望值评估，有直接的数学公式。

假设你有1万，按下按钮后，50% 概率变成 1千，50% 概率变成9万，数学期望值为：0.1*0.5+9*0.5=4.55万

平均每按一次按钮，你的财富预期会变成原来的4.55倍，这看起来是一个“送钱机”。

但大家可以拿起计算器，随便多算几次，你会发现，“送钱机”秒变“送命机”。

不信你可以算一算：假设你有1万，按下6次按钮后，三次1折，三次9倍，就变成0.729万。

这也是一道计算题，“打1折”和“变9倍”，每一轮就相当于打9折，一定是越按越少，连按6次按钮，就是0.729万，连按14次按钮，一半就没有了，连按100次按钮，只剩下51块。

为什么会这样？难道投资中的数学期望值方法是误导人的？

这个问题的背后隐藏着很多人持续亏钱的原因，你越晚醒悟，亏得越多，本文就来聊一聊这个话题。

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从必亏到大赚的秘密

这个按钮用数学期望值进行决策并不错，它确实是一台“送钱机”，只是你下注的方法错了。

正确的方法应该是这样：

比如，把这1万元分成10份，每份1千元，然后对每份钱按1次按钮——这是关键的不同之处，每份只能按一次，不能多按。

按完10次后，我们得到了10份钱，假设我们的运气不好不坏，五份按出9倍的结果，五份按出1折的结果，那现在我们果然得到了：

0.9*5+0.01*5=4.55万

“数学期望值”诚不我欺也，会用就是“送钱机”。

这其实是一个非常经典的金融决策问题，它触及了我们经常用到的两个决策指标，“期望值”与“复合增长率”之间的冲突，只是一般的投资中，不会出现这么极端的盈亏比，它们的差异被掩盖了。

改进后的方法，我强调只能按一次，为什么呢？因为数学期望值计算的是，你只按一次的情况下，你得到所有可能的结果的平均值。

只不过，如果真的只按一次，那结果是不确定的，为了消除这个不确定，我把钱分成多份，份数越多，结果越接近数学期望值。

那如果我一次性把钱都投下去，按了N次，有没有办法计算每次的数学期望值呢？

有，就是取对数（ln），再计算期望值：

计算结果为负数-0.0525。

意思是说，每按一次，期望值损失5.25%，两次就是9%，跟前面的计算结果完全一样，一直按下去，几乎注定会破产。

为什么要求对数期望呢？对同一份钱反复操作，下一次的收益就依赖前一次的结果，就成了多次重复博弈后的连续复利，每一次的期望值就是“次化”增长率，资产的变化不是加法，而是乘法，要还原，就要取对数（需要回忆一下高中的数学知识）。

只要对数期望值为正，理论上你可以All in，持续按也大概率能赚钱。

总结一下，“送钱机”的数学期望值只是解决了你“该不该按”的问题，而对数期望值解决了你All in“会不会死”的问题。

所以不要小看分散化投资，它是可以凭空创造收益，可以改变一个“All in必死”的投资机会的收益率的。

但开头的“送钱机”如果要分批的话，是否一定每次只出1/10的钱？这一类机会通常很有限，肯定希望每次能多投一点钱。那每次应该拿多少出来按呢？

很多人一定想到了，这个问题不就是大名鼎鼎的“凯利公式”吗？

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正确的机会上，也有错误的方法

如果用凯利公式计算，对于这样一个按钮，如果每次只下注1/10，那赚钱效率就太低了，不能最大化收益。

而凯利公式解决的是，在已知胜率和赔率的情况下，每次应该押上多少本金，才能在长期收益最大化，同时避免破产风险？

凯利公式如下：

但这是针对固定盈亏数量的简化公式，在处理“资产变成某比例”的问题时，还要求对数期望最大化。这个求导的过程就略去了，开头的按钮，计算出的每次下注的最佳比例是49.3%，在这个比例下，每轮财富增长率为65.7%。

不过，数学结论只是理论，现实中，大部分人还是难以承受凯利策略带来的剧烈资产波动，你想一想，每次拿出近一半的钱，可能还有点冒险，万一你连开三次小，那就很难受了，或者你算错了赔率，那就万劫不复了。

所以大部分人会用“半凯利策略”，就是凯利数的一半，上一个例子为24.7%，每次下注1/4，那每轮财富增长率也相应降至52.1%，降幅不大，但容错率、资产回撤却大大增加。

更保守的人还会选择1/4凯利数，收益率并不会下降太多。

你看，很多人以为投资最重要的是寻找高收益机会，而开头的这个例子其实是凯利理论最经典的结论之一，一个投资机会可以同时满足三个看似矛盾的条件：

1、算术期望极高（4.55倍）

2、ALL in必输

3、半仓却能高速增长

实际投资中，高收益机会并不稀缺，真正稀缺的是，找到既有正期望值，又不会在复利过程中把自己淘汰出局的下注方式。因为市场最大的风险，从来不是赚得慢，而是押得太重。

重要的结论重复三遍，数学期望决定机会值不值得参与，但凯利公式决定机会值多大的仓位，很多投资者死在了第二步——他们发现了一个好机会，却用错了下注方式。

——钢大的财富新思维圈子——

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