对话数学艺术家 Bronna Butler：数学、艺术、抽象

女士们，先生们，老少爷们儿们！在下张大少。

在科罗拉多州丹佛市举行的2020年联合数学会议（JMM）上，笔者匆匆忙忙姗姗来迟，冲进一场关于数学与艺术的会议，在一个戴着红色眼镜、面容和善的女士旁边找了个座位坐下。当当前的那场报告结束后，二人攀谈起来。笔者发现她是一位数学艺术家，便请求观看她作品的照片；几分钟之内，笔者便兴奋地开始解码她一件彩色玻璃雕塑中嵌入的密文。

布朗娜·巴特勒的艺术创作中，有部分作品旨在致敬著名数学家和科学家，包括理查德·费曼、罗杰·彭罗斯和约翰·纳什。2020年7月，正值著名数学与科学科普作家马丁·加德纳去世十余年之后，又恰逢数学偶像约翰·康威离世仅数月之际，笔者与布朗娜聊了聊她作为数学艺术家的工作、她为纪念康威和加德纳而创作的艺术品，以及她对有志于从事数学艺术创作的后来者提出的建议。为表述清晰，二人的对话经过了编辑和精简。

图1：布朗娜·巴特勒

杰西卡·斯克拉：你获得了艺术学士学位和会计学硕士学位，但从未攻读数学学位。你从什么时候开始喜欢上数学的？你有没有想过拿一个数学学位？

布朗娜·巴特勒：从小学开始，数学就一直是我最喜欢的科目之一，而我最喜欢的老师也都是教数学和科学的。我一直觉得数学很吸引人：它是抽象的，因此也是一门非常富有想象力的学科，比人们通常所认为的要更具创造性。同时，数学也非常逻辑严密、精确无误，这正是我所喜爱的。

如果在我上高中时有一位女性的数学榜样，我很可能就会选择数学专业。现在年轻女性有这样的榜样了，但我认为还需要更多。同样重要的是，让学生们了解拥有数学背景的人可以从事的各种职业选择。我当时以为数学专业唯一的出路就是教书，而我又觉得自己太害羞，不适合当老师。我不知道还有精算师、密码学家或数学建模师这些职业存在。对于一个具备数学技能的人来说，选择其实非常多。

杰西卡·斯克拉：是什么启发你创作了康威和加德纳的雕塑肖像？

布朗娜·巴特勒：康威和加德纳都是非凡的人物。他们才华横溢、鼓舞人心，受到全世界精英数学家、业余数学爱好者和青少年的崇敬。

康威是一位天赋异禀的教师，而且极具魅力。马库斯·杜·索托伊说得非常精彩：“[康威]在展示他数学探索成果时的表演，几乎具有一种魔力。他将那些乍看之下只是数学趣题或把戏的东西编织在一起，但到了讲座结束时，却已经抵达了数学中非常根本性问题的答案。”（《对称》，哈珀永久出版社，2009年）

而且，每当有人提起加德纳时，房间里总会有某个人眼睛一亮，热情洋溢地讲述自己与加德纳或其作品的一次相遇。加德纳与专家和十二岁的小粉丝都保持着广泛的通信。佩尔西·迪亚科尼斯在为加德纳自传《纯粹的障眼法》所作的序言中写道：“加德纳把几十个天真无邪的年轻人变成了数学教授，又把成千上万个数学教授变回了天真无邪的年轻人。”（普林斯顿大学出版社，2013年）马丁影响了太多太多的人。

约翰和马丁都有庞大的粉丝团。我是这两个粉丝团的成员！能以这种微小的方式向这两位人物为那么多人生活所带来的改变致敬，我感到无比荣幸。

杰西卡·斯克拉：你是怎样开始认识康威的？

布朗娜·巴特勒：我真的非常幸运。我丈夫和我认识普林斯顿大学的数学家爱德华·纳尔逊和他的妻子萨拉。在埃德去世后，萨拉和我在探讨由我创作一幅他的玻璃肖像画的可能性。二人走在普林斯顿范氏大楼的走廊里，遇到了约翰。萨拉和他很熟，于是她为我们做了介绍。

杰西卡·斯克拉：你提到过约翰很鼓舞人心。能多跟二人讲讲他是什么样的人吗？

布朗娜·巴特勒：尽管我没有数学学位，但约翰从来不对我摆架子。他总是认真地对待我，而且他对每个人都是这样；他说过，虽然他在精英学校任教，但他本人并不精英主义。他坚信数学是属于每个人的，并且会根据交谈对象的知识水平来调整他数学讨论的深度。

约翰是个博学者，认识很多有趣的人，而且非常擅长讲故事。我见到他的时候，萨拉和我正拿着我做的那尊纳什和费曼的玻璃肖像雕塑。康威立刻开始分享关于费曼和纳什的精彩见解。他很擅长挑选能引起对方兴趣的故事。例如，他跟我讲了文艺复兴时期列奥纳多·达·芬奇与数学家卢卡·帕乔利之间的友谊，并解释说达·芬奇曾为帕乔利的《神圣比例》一书绘制过插图；我听得入了迷，当即就订购了一本原著的影印本。

杰西卡·斯克拉：给我讲讲你的康威肖像雕塑《康威的宇宙图》吧。

布朗娜·巴特勒：约翰喜欢我的艺术，也有兴趣和我合作一个项目。我为他提出了几种肖像方案，其中包括一件三维玻璃雕塑，内容是他所称的“宇宙图”（The Cosmogram）。宇宙图由五个柏拉图立体构成，彼此嵌套：一个十二面体包含一个立方体，立方体包含一个四面体，四面体包含一个八面体，八面体包含一个二十面体。约翰说：“嗯，我对这个很感兴趣！”

《宇宙图》是一件制作难度很高的作品。玻璃是一个很好的选择，因为每个多面体都能在其他多面体中被看到，但这种脆弱且没有弹性的材料很容易破碎——制作过程需要完全精确。这个项目是真正的合作。作品中的所有选择都由约翰审阅或建议，我则使用他的公式来制作这些多面体。我的测量必须非常精确。多面体并不总能像你想象的那样彼此契合：例如，四面体的每条边的两个端点都位于立方体某个面的对角线上。这件作品的制作耗费了大量时间！

在部分玻璃面上，我绘制并烧制了图案和文字，包括一幅康威的肖像；内接柏拉图立体的边长和体积的比例；以及约翰内斯·开普勒《世界的和谐》中的几个大星形十二面体。

杰西卡·斯克拉：你是怎样开始认识加德纳的？

布朗娜·巴特勒：约翰是加德纳的朋友，他给我讲了很多关于加德纳的故事。我通过阅读加德纳的自传以及他的数学书籍和专栏文章，进一步了解了他。

杰西卡·斯克拉：能给我讲讲你的加德纳雕塑肖像《阿曼德·T·林格》吗？

布朗娜·巴特勒：加德纳的众多成就中，最著名的是他的《注解版爱丽丝》（布拉姆霍尔出版社，1960年），该书为刘易斯·卡罗尔的小说《爱丽丝梦游仙境》和《爱丽丝镜中奇遇》提供了导读和大量注释。

并非所有人都知道，“刘易斯·卡罗尔”是查尔斯·道奇森的笔名，道奇森曾在牛津大学担任基督教堂数学讲师多年。在《注解版爱丽丝》中，加德纳解读了卡罗尔在小说中玩味的数学和语言游戏，引领那些可能对高等数学不熟悉的读者进入其悖论与美妙之美的宇宙。因此，在我雕塑的中心，我放置了一个我称之为“加德纳兔”的形象——这是加德纳与白兔的融合体，而白兔正是将爱丽丝引入奇妙而古怪的仙境世界的那位引路人。

加德纳还因其在《科学美国人》上的专栏“数学游戏”而广为人知。因此，我将他专栏中的谜题和其他主题融入到了雕塑中。围绕“加德纳兔”的多面体是一个截角八面体，这是一种阿基米德立体，有八个六边形面和六个正方形面。加德纳在《科学美国人》上发表的文章《扭结六边形》（1956年）促成了他成为该杂志的常驻专栏作家。为了向这篇文章致敬，我将四个六边形玻璃面板绘制成六扭结六边形的图案，每个面板都向观者呈现一个受加德纳专栏启发的谜题。

正方形的面板上包含字母数字字符，它们共同编码出一个秘密单词。环绕“加德纳兔”的书籍以及那面三角旗，为观者提供了另一个密码学挑战（其中一个密码涉及卡罗尔推广过的一种密码）。

在他的自传中，加德纳写到了他对色彩的热爱，以及他母亲看到彩虹时的喜悦。因此，我希望这件雕塑色彩非常丰富：我用彩虹七色中的六种颜色来装饰多面体的正方形面。同时，我想暗示“无限”这一概念，所以在设计中加入了镜子，并将雕塑陈列在镜面上进行展示。

最后，由于这件雕塑呈现了谜题，我制作了一本三折页的小册子，概述了这些谜题并提供了它们的答案。答案以镜像文字印刷，因此必须将其举到镜子前才能阅读。

杰西卡·斯克拉：为什么取《阿曼德·T·林格》这个标题？

布朗娜·巴特勒：这又是一个谜题！我把答案留给读者去解开。

杰西卡·斯克拉：你是如何进入数学艺术社群的？这个社群什么地方吸引你？

布朗娜·巴特勒：认识约翰是一个关键的转折点。他在趣味数学界是一股重要的力量。在二人合作完成《康威的宇宙图》以及一幅庆祝他发现的超现实数的肖像画之后，我去听了他在国家数学博物馆做的一场报告。在那里我遇到了数学家和自由职业者巴里·西普拉，他告诉我有关于数学与艺术的年度桥梁会议（Bridges Conferences），还有设有数学艺术展的联合数学会议（JMM）。我将作品提交给了2018年评审制的JMM艺术展；一幅装裱好的《加德纳兔》作品被接受了。

我真的很喜欢参加联合数学会议（JMM）：那里的艺术展非常出色，报告也很精彩，而且你能在那里遇到许多了不起的人。我也很喜欢Gathering4Gardner（G4G），这是一个每两年举办一次的会议，旨在庆祝趣味数学、魔术、游戏、谜题、怀疑论、科学和艺术，内容包括表演、原创论文报告、艺术展览等。这是一个充满创造力和巧思的仙境。

我感到非常欣喜的是，数学家们是如此富有创造力和视觉表现力。数学艺术本身就是一门独立的学科。有那么多数学家通过设计、陶瓷、纤维艺术、绘画、3D打印、雕塑和其他创意媒介，以视觉方式表达数学思想。这些数学家尊重艺术——这对他们来说真的很重要。数学艺术社群大概是我在艺术领域最大的发现。

杰西卡·斯克拉：你对有志于从事数学艺术创作的人有什么建议吗？

布朗娜·巴特勒：尽可能多地探索艺术作品，尤其是亲自去现场观看。对于每个项目，都要仔细思考你的目标受众、你想要传达的内容，以及哪种媒介最能实现你的构想。创作大量作品，并愿意在发现方法行不通时改变策略，甚至推翻重来——这也正是建议给正在学习如何撰写证明的数学学生的同样道理！

主动寻求对你作品的反馈，并拥抱合作，这往往会带来更好的成果。那些想要创作数学艺术但缺乏系统数学训练背景的艺术家，尤其可能从与数学家的合作中获益。通过参加桥梁会议（Bridges）和G4G会议，以及参观联合数学会议（JMM）上的艺术展览和艺术相关讲座，积极参与数学艺术社群。最后，要坚持不懈。通往伟大艺术或伟大数学的道路很少是笔直的：享受其中的曲折与转折，并且要相信，参与过程本身与最终作品的创作同样有价值。正是这个过程，让人成为更好的艺术家和更好的数学家。学习本身就是目的。

图2 布朗娜·巴特勒，《康威宇宙图》，2016年。彩绘、烧制并铜箔镶嵌彩色玻璃，14×18×18英寸。

图3 布朗娜工作室中解构的康威宇宙图。

图4 阿尔芒·T·林格内部视图。倒影由内部镜面和镜面平台共同产生。

图5 布朗娜·巴特勒，《绘制波动方程》，2020年。石墨与彩色铅笔，11×11英寸。方程设计：英格丽德·多贝西。数学炼金术配套作品。

杰西卡·K·斯克拉是太平洋路德大学数学教授。她的研究兴趣包括代数学、趣味数学、数学与流行文化，以及数学与艺术。她与伊丽莎白·S·斯克拉共同主编了《数学与流行文化》一书（麦克法兰出版社，2012年），撰写了开源教科书《第一学期代数学：结构方法》（2017年），并为《艺术与科学数学手册》（施普林格出版社，2020年）贡献了两个章节（其中一章与詹妮弗·弗金斯·诺德斯特龙合著）。

最后照例放些跟张大少有关的图书链接。

青山 不改，绿水长流，在下告退。

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