北京
一个数学命题被证明过一次，为什么还有人要再证一遍？这个问题听起来像抬杠，但它背后藏着数学这门学科真正的工作方式。
最近有人谈到，OpenAI曾意外产出了纳维-斯托克斯问题证明的两个版本。一些不熟悉数学的人对此感到困惑：同一个问题，两份不同的证明，怎么可能都正确？这个困惑恰好指向一个常被忽略的事实——证明不是作业题。
有数学家指出，多数人对数学的全部经验都停留在学校里，于是容易形成一种印象：数学家不过是在一张巨大的题目清单上往下做，把答案写出来，等着某位宇宙级的数学老师打勾。事实并非如此。证明是组织和推进数学思考的方式。可以把一个证明看成一段旅程，从陈述走到结论——而就像许多旅程一样，从A到B可以走很多条路。同一个问题出现多份证明，就是这么来的。
这种“再证一遍”、走一条还没走过的数学之路的做法，可以追溯到古代。最早的例子之一，是关于等腰三角形总有两条相等的边、底角也相等的命题。约在公元前350年，亚里士多德描述过一种证明，做法是从圆心向圆周画线——这份证明的原作者已经失传。大约50年后，欧几里得给出了一个只需要三角形、不需要圆的证明。这恰好绕开了一场数学争论：直线与曲线之间形成的角该如何定义。这个问题后来过了几千年才被解决。
欧几里得还出现在另一个例子里，说明反复攻击“已解决”的问题有多有用。他记录过一个证明：素数有无穷多个。假设你有一张有限的素数清单，把它们全部相乘，得到一个新数P，再定义q = P + 1。如果q是素数，它不可能在清单上，因为它比P大；如果q不是素数，那它必然能被某个素数整除，正如所有非素数一样。如果这个用来除的素数曾在清单上，它就必须也能整除P，但这就意味着它能整除q − P = 1，而这是不可能的。无论哪种情况，我们都找到了一个不在原清单上的素数。
据2023年的一项调查，欧几里得这个定理如今已有200种不同的证明。其中一份在当时切实推进了数学知识：莱昂哈德·欧拉在1737年发表了一个公式，把所有数之和与所有素数之积联系起来。他还借此暗示了素数的结构——不只是有无穷多个，而且沿着数轴往上会变得越来越稀疏。欧拉的公式在一个多世纪后启发了伯恩哈德·黎曼提出黎曼猜想，这是一个关于素数结构的深层问题，被视为当今数学最重要的未解之谜之一。如此看来，欧拉再啃一次欧几里得，很值。
也许令人意外的是，有时数学家会在暴露出推理缺陷之前，先给出同一个定理的多份证明。1933年，数学家威廉·格伦瓦尔德发表了一份证明，表明一个数a若相对所有素数具有某种性质，就总能写成另一个数x的n次方，即a = xⁿ。1942年，另一位数学家乔治·惠普尔斯用略有不同的数学给出了新证明。但到了1948年，王湘浩发现，这个结论对16并不成立，因为16不等于任何x的8次方。正确的结果如今被称为格伦瓦尔德-王定理。
更有意思的是，研究者甚至用数学方法研究过“证明之旅”这件事本身。在2022年的一篇论文中，斯坦福大学的斯科特·维特里和宾夕法尼亚州卡内基梅隆大学的西蒙·德德奥指出，如果一份数学证明是一串逻辑步骤，每一步都有极小的出错概率，那么证明足够长时，它更可能出错而不是正确。骰子掷得够多，掷出1几乎是必然的。那么数学家还怎么证明任何东西？
两人表明，一份数学证明的结构像一个网络，“真”沿着各步骤之间的路径传递，正如一段旅程。既然每一步都可能出错，这种“真”的强度会沿更长的路径衰减。但证明并不是在概念场里随机游走——它们有结构，论断常常被多条路径加固。这种结构让“真”能沿最强的路径传递，即便在其他路线上失效。正因如此，这个网络会经历两人所称的“认知相变”：在那种情形下，你可以极度确信这份证明是正确的。
这只是一个模型，未必被所有数学家接受，但它有吸引力，也符合自然的预期：数学家手里的证明越多，从A到B踩出的路越多，你就越能确信它是真的。在AI开始产出人类未必能理解的数学的时代，多条通往真相的路线——无论出自人类还是AI——或许能在本来只有不确定的地方带来信心。
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