北京
两颗球都落袋，结果一模一样。但其中一杆可能允许相当大的瞄准偏差，另一杆却要求极其精确的接触。在PerformStars，团队想找到一种不依赖球员名气、也不依赖历史进球率的衡量方式，于是提出了一个几何问题：有多少个初始母球方向，仍然能直接打进目标球？
这个问题引出了一个可复现的击球难度分数。核心直觉是：一杆球拥有的是一条“窗口”，而不是一条线。
袋口不是点，容错从几何开始
袋口有有限宽度，目标球本身也有非零半径。因此，若干相近的目标球出射方向都能通向袋口。但球员并不直接瞄准目标球——母球必须先在一个可行位置接触它。把目标球允许的路径换算成初始母球方向，得到的范围往往窄得多。
这个区间的宽度记为w，单位为弧度：w = βmax − βmin。βmin与βmax是符合直接进袋模型、且能完成首次接触的极端初始母球方向。w越小，瞄准的几何余量越小。展示分数采用反向缩放：D = 0.10 / w。常数0.10只用于设定刻度，它不是概率，也不是通过实验学到的球员水平指标。在取整之前，D翻倍对应模型中的角度容差减半。
薄切为什么难得多
设想两杆球，母球到目标球中心距离同为0.50米，目标球到袋口入口距离同为0.30米，只有母球起始位置不同，形成更薄的切球。两种情况下袋口对目标球同样开放，但切球那杆的初始母球方向容差小得多。这正是单看袋口宽度或击球距离无法描述全部几何的原因。
分数怎么算出来
这个分数并非由神经网络直接生成。流程是先从视频重建初始球局：检测台面、把坐标映射到球桌平面、检测并跟踪球、识别候选的目标球与袋口组合。随后在几何计算中代入物理器材尺寸，包括球半径和袋口开口。
视频坐标带有测量不确定性。显示到小数点后两位的分数，不应被误认为具备同等精度的物理测量。模型使用初始母球中心C、目标球中心O、袋口入口中点P、入口朝向、球半径R和袋口宽度，同时检查袋口间隙以及所选目标球方向能否被首次接触到达。
同样的方程，不同的器材
模型没有套用“斯诺克更难”这类人为系数，而是使用指定的器材尺寸。在同样的0.50米与0.30米间距下，直线球示例在台球中给出2.61，在斯诺克中给出6.83。另一组比较保持球在台球桌与更大斯诺克桌上的相对位置，台球示例得分43.56，斯诺克示例得分185.91——更长的物理行程与不同的球、袋口尺寸叠加在一起。
这里的袋口宽度是模型参数，不是每张球台的通用尺寸。真实袋口边角是弧形的，而计算把入口简化为直线段。同一几何框架也可以接受其他杆类运动器材的实测尺寸。
这个分数说明什么，不说明什么
在PerformStars中，难度值随击球存储，并与示意图和结果一同展示，也能用于汇总高难度尝试、为教练报告提供背景。但它刻意只是一个几何分数，目前不包含执行稳定性、旋转、速度控制、台呢摩擦、中间球、先碰库、翻袋、袋口反弹或下一杆走位。
它也不预测通用的进球概率。难球可以打进，简单球也可能失手。这个数值描述的是该位置在模型中的瞄准容差，而不是某一杆的击球质量。
只统计进球与失球，会把截然不同的局面当成等价。几何难度分数提供了另一个维度：这个机会本身有多苛刻？这为更有信息量的球员比较、练习规划和AI辅助教练打开了路径——前提是把几何模型与观察到的表现分开，并用真实数据验证任何未来的预测性主张。
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