从西班牙科尔多瓦清真寺中的神圣比例看几何与艺术

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科尔多瓦比例c = (2-√2)^-1/2，是正八边形半径与边长之比。该比例由R. de la Hoz 于 1973 年提出。最近，作者发现了与该比例相关的几何特性，这些特性与被他们命名为"科尔多瓦多边形"的图形族有关。作者通过哈希姆·卡布雷拉（Hashim Cabrera）和路易斯·卡尔沃（Luis Calvo）的艺术作品对这些成果进行了总结和延伸，这两位科尔多瓦画家在近期的创作中有意识地考虑了科尔多瓦比例。事实上，我们在对卡布雷拉的画作进行的几次剖析中都验证了这一比例，而在卡尔沃的画作中，我们认出了许多科尔多瓦多边形和一些新的多边形，这些多边形已被我们添加到以前的作品集中。我们还发现了一些新的正方形、√2矩形和白银矩形的科尔多瓦剖面图。

1 引言

这部作品是两位数学家与两位画家在西班牙科尔多瓦市会面并就科尔多瓦比例进行交谈的成果。

科尔多瓦比例 c = (2-√2)^-1/2 是正八边形半径 R 与边长 L 之比（图 1）。

图1正八边形中的科尔多瓦比例

西班牙建筑师拉斐尔·德·拉·霍兹·阿德留斯于1973年提出了这一比例，并将其命名为“科尔多瓦比例”。这个比值的无理数被称为科尔多瓦数。根据余弦定律，在边长为R、R和L的标记三角形中（见图1），我们有：

2008年之前，作者开始研究这种比例，当时只考虑了矩形。从那一年起，他们的研究发现了与该比例相关的几何特性，这些特性与被他们命名为科尔多瓦多边形的一系列新形式有关 [3-5]。

在这篇文章中，两位科尔多瓦画家的艺术作品总结并扩展了这些结果，他们在最近的作品中有意识地考虑了科尔多瓦的比例。他们作品的目的、动机和视觉效果完全不同。

2多边形形状和科尔多瓦比例

在这一节中，我们总结了已发现的与科尔多瓦比例相关的主要多边形形状。

科尔多瓦三角形是等腰三角形，类似于图1中的边为R、R和l的三角形。因此，如果等腰三角形的角度为π/4、3π/8和3π/8弧度，则该三角形是“科尔多瓦三角形”（图2）。

图2科尔多瓦三角形及其在正八边形中的位置

科尔多瓦矩形是边长与边长之比为 c 的矩形，如图 3 所示的边长为 R 和 L 的矩形。

图3科尔多瓦矩形及其正八边形构造

科尔多瓦菱形是一个菱形，其角分别为 π/4，3π/4 弧度。这种形状是由两个科尔多瓦三角形结合而成。如图 4 所示，四个八边形相交，产生一个由四个菱形组成的内星。

图4通过90°和45°平分八角形菱形和正方形菱形

正八边形可以分成四个全等四边形，作者将其命名为科尔多瓦风筝或 c 形风筝。一个 c 形风筝由两个科尔多瓦三角形组成。这个四边形的角分别为 π/2、3π/8、3π/4 和 3π/8。如果八边形的边长为 1，则 c 形风筝的边长为 1、1、c 和 c，图 5。

图5科尔多瓦风筝、科尔多瓦飞镖及其从正方形开始的构造

当八边形内接一个正方形时，会出现另外四个全等的凹四边形（见图5）。这些四边形被称为科尔多瓦飞镖或c型飞镖。c型飞镖有角π/8、π/2、π/8和5π/4以及边1、1、c和c。

可以考虑几种科尔多瓦五边形，其中最相关的是通过两个直角三角形覆盖科尔多瓦三角形的等边而形成的不规则多边形（图 6）。这个五边形覆盖了整个平面。它的四条边相等，边长为 c/√2，其余边长为 1。它的角分别为 5π/8、π/2、3π/4、π/2 和 5π/8。

图6科尔多瓦五边形

科尔多瓦多边形图库非常广泛 [5]。事实上，准多边形的集合尤其有趣。事实上，两个风筝、两个飞镖或一个风筝和一个飞镖的组合会产生不同的准六边形（见图 7）。

图 7 科尔多瓦准六边形

同样，通过考虑四个四边形、风筝或飞镖，可以得到几个准八边形：c-太阳（正八边形）、四点星或（c-星）、c-弓、c-伞、c-月、c-鱼等。见图 8。

图8用风筝和飞镖制作的几个八边形

3 哈希姆·卡布雷拉 灵魂的比例

哈希姆·卡布雷拉 1954 年出生于塞维利亚，不久后搬到阿尔莫多瓦·德尔里奥（西班牙科尔多瓦），现居住于此。他是一位对视觉艺术及其历史、精神和哲学基础感兴趣的画家和作家。在经历了关注形式的第一阶段后，他逐渐形成了自然主义的抽象绘画概念。通过避免使用形状和符号，艺术家所要传达的信息可以摆脱形式的束缚。在这种假设下，色彩和比例是唯一被允许的元素。

2008 年 2 月，他在科尔多瓦举办了 Los colores del alma（灵魂的色彩）画展。十幅画作（丙烯酸/油画）展示了他对色彩的深刻反思。色彩的深刻思考。所有作品都是由两个、三个或四个长方形模块组合而成的。每个模块都使用一种颜色。完整的阐述可
http://www.hashimcabrera.com/galeria.html.

Cabrera 声称，既然我们不可能永远生活在绝对的同一性中，那么同一性和多样性就不能分开。绿色是唯一的主色调，同时也是次要色，它的主要运用体现了这一理念。和谐是通过作品之间的平衡来实现的。支撑空间的划分方式是由科尔多瓦比例特意安排的。此外，所有构图也通过科尔多瓦比例相互关联。

令人惊讶的是，科尔多瓦数似乎与科尔多瓦年平均日照的测量值有关。这一惊人的事实引起了画家的注意，他被这种巧合所吸引，这种巧合将宏观的外部现象与基于数学概念的内在经验结合在一起，从而安排了秩序和共识。这就是科尔多瓦比例。

我们在卡布雷拉画展的油画剖面图中发现了这一比例，即使在不明显的情况下也是如此。我们以图 9 所示的画作为例。从中我们可以发现一些几何事实。

图 9a 中的画面是一个几乎完美的正方形，由两个模块组合而成，这两个模块构成了最简单的科尔多瓦正方形剖面图：

正方形可以分成一个科尔多瓦矩形和一个比例为 c/(c-1) 的矩形。

图 9 Hashim Cabrera 的四幅油画

画布的图形分析如图10所示。在左边，我们可以看到这幅画。在中心，我们观察前面提到的正方形的剖分，通过几何设计程序精确地制作。在右边，通过前面图像的简单叠加，展示了卡布雷拉完成的“近乎完美”的科尔多瓦剖分。

图10双联铬绿/黑色上的科尔多瓦分区

从图 11 的剖面图开始，我们可以移动矩形，使其位于正方形的中心。结果就是另一个正方形的科尔多瓦剖面图，即图 12：

正方形可以分割成一个比例为 c/(c-1) 的矩形和两个比例为 2c 的矩形。

图11正方形是科尔多瓦矩形和矩形c/（c-1）的并集

图 12 将正方形分成比例为 2c 和 c/(c-1) 的长方形

我们在"Visitors"中已经认识到了这种剖面，我们可以看到一条白色的中心条带对称地分割了画布。确切地说，该条纹是一个比例为 c/(c-1) 的矩形。

图 13 用简洁的文字说明了图 9b 中对这幅画的图形分析。

图 13 Visitors上的科尔多瓦分割线

再次从正方形的第一次分割开始，我们可以实现比率为c/（2c–2）的矩形的调和分割，如图14所示。

图 14 矩形 c/(2c-2) 的构造和剖分

这种模式出现在图 9c 的绿色/黑色三联画中。图 15 解释了这一结论。请注意，两条蓝线是平行的，上边的线是白色矩形 c/(c-1) 对角线的延长线。

图 15 绿色/黑色三联画中的矩形 c/(2c-2)

图 9d 展示的是水果花园，这种构图令人惊讶。这幅画由一个正方形模块和另一个长方形模块组成。只有在这种情况下，画家才会意识到这种构图中的比例是偶然考虑的。令人惊讶的是，即使在这种情况下，科尔多瓦比例也会出现。见图 16。

图 16 走向黄金矩形的花园/果园

事实上，矩形模块是由一个正方形和一个科尔多瓦矩形组合而成的。

我们发现了与斐波那契数列 Gn = Gn-2 + Gn-1 相关的伪天文增长的两个第一步，n = 2、3、4......，初始项 G0 = c 和 G1 = 1：

请注意

其中Fn是通常的斐波那契数列的项Fn = Fn-2 + Fn-1，n = 2，3，4，...从F0 = 0和F1 = 1开始。所以画家直观的形状可以被认为是黄金矩形的近似。

4 路易斯·卡尔沃：科尔多瓦清真寺矢量图

路易斯·卡尔沃出生于 1959 年，是一名设计师，对家乡科尔多瓦的历史和建筑情有独钟。2008 年 12 月，布鲁塞尔塞万提斯学院（Cervantes Institute）举办了一次艺术展，通过八位艺术家的作品展示了科尔多瓦市的文化内涵。卡尔沃以一幅名为 "La Proporcion Cordobesa"（科尔多瓦比例）的画作（图 17）参与了此次集体展览，在这幅画作中，作者向这座城市最具代表性的建筑——清真寺表达了敬意。卡尔沃的作品是在棉布上绘制的矢量图，画框排列成矩形，代表了科尔多瓦清真寺的平面图。

从图中，我们可以看到五个矩形模块，每个模块的颜色都不同，与建筑施工的不同阶段相呼应。在整个矩形上，我们可以看到许多八角形的星星。每个八角星都镶嵌在一个几何框架中，该框架由一个长方形网格和另一个相对于第一个网格旋转的网格共同组成。

让我们把注意力集中在放置八角星的几何骨架上。当我们构建它时，它的数学趣味就显而易见了。

图17科尔多瓦比例（2008年）

如图18所示，用平行于正方形边的线切开正方形内接的正八边形，我们可以确定一个由四个比例为√2的全等矩形、四个全等正方形和一个大中心正方形组成的复合图形。该模块将是初始网格的基础。

图18初始网格的基础

要构造的第一个图形是星形八边形，用8/2表示(图19a)，它由两个正方形组成。在下一步中，在前一颗恒星内，我们绘制恒星八边形8/3，或八元图，其点位于恒星8/2的凸顶点上(图19b)。

图19生成基准星

回到第一颗星8/2，我们绘制另一颗星8/3，它的点在初始星8/2的点中。这一操作确定了八个交错的科尔多瓦三角形，其角在星形的角上为45°（图19c）。在构图中心确定的小内部星8/2内，我们重复前面几行中描述的相同操作。该构图在网格上以两个独立的方向平移，图20（左）。最后，我们在前面四个模块包围的内部规范模块上安装另一个相同的设计。最终结果是一个由五个交错模块组成的网格，如图20（右）。

图20生成模式基础

通过两个独立的矢量，我们可以将五种构图进行平移，从而得到一幅由矩形和正方形组成的平铺图，其中一些矩形和正方形由八边形几何图形中的线段装饰，如图 21 所示。

图 21 网格中的矩形和方形模块

值得注意的是，艺术家采用了截然不同的建造程序。卡尔沃的起点是将 T1 模块战略性地放置在矩形网格的小方格中，如图 18 所示。接下来，线段被延伸，并通过添加剩余的线条完成绘图。见图 22。

在 T1 模块中，科尔多瓦菱形纯粹是镶嵌在一个由 90°和 45°两角一分为二构成的正方形中（见图 4）。我们可以看到，这种形状是折纸的两个基础之一：鱼形基础。八世纪时，折纸艺术在阿拉伯人中非常流行。卡尔沃的个人建议是，科尔多瓦清真寺是由懂得并使用折纸技术的砌砖大师建造的。这就是模块 T1 在艺术家所遵循的方式中发挥主要作用的原因。

通过前面两种不同的结构，最终的结果都是一样的，即现代的 "tasteir"（直线几何学）。科尔多瓦比例从这个星空长廊中浮现出来，其中有几个科尔多瓦多边形很容易辨认，它们并不是有意识绘制的，而是以一种隐含的方式出现。我们在网格中发现了一些新的多边形，可以将它们添加到我们之前的作品中。

为了澄清对画布的理解，我们将其视为一个由八行十一列组成的数组，我们将对每个方框或方框组进行编码，如图 23 所示。该图的背景是作者友情提供的绘画草图。

图 23 将画布编码

科尔多瓦钻石在多个方格中都能找到。例如，在 Ai,j 中，I = 2、4、6、8，j = 1、3、5、7、9、11。科尔多瓦三角形分布在图片的各个角落。例如，在方框 A4,5;2,3，我们可以看到两个科尔多瓦三角形，它们分别被对方和各自的圆规分割。A3,4;3,4 中有一个 c 形弓。一个被称为星形的凹八边形和一个 c 伞形明确位于 A3,4,5;2,3,4。在 A5,6,7;4,5,6 中有八边形 c 鱼和 c 月亮，依此类推，如图 24。

图 24 方框 A4,5;2,3、A3,4;3,4、A3,4,5;2,3,4 和 A5,6,7;4,5,6 中的科尔多瓦多边形

通过分析这幅图，我们可以确定一些新的五边形，它们将使作者发现的五边形家族更加完整。这些新的科尔多瓦五边形被切割成矩形、正方形、科尔多瓦三角形和团子，见图 25。第一个五边形涉及科尔多瓦数和银数 θ = 1+√2。它们出现在第一行和第二行，经过几列：A1,2;1,2,3，A1,2;5,6,7，A1,2;9,10,11。这些对称五边形可以在 A4,5;1,2,3、A4,5;5,6,7、A4,5;9,10,11 中找到。

图 25 方框 A7,8,9;6,7,8 中的三个五边形

通过观察 T2 模块，我们可以发现有关矩形 √2 的一些几何事实。图 26 上一行解释了 T2 模块的构造步骤。从第一幅图中可以看出，矩形√2 可以分割成一个银矩形和两个比例为 c2 的矩形。

图 26 矩形 √2 的剖面图

在下一行左侧，我们可以看到矩形√2 的另一个剖面图。在这种情况下，结果是三个科尔多瓦三角形、一个等腰三角形和两个对称斜边三角形的结合。该等腰三角形是标角三角形的圆角，而标角三角形正是科尔多瓦三角形的圆角。其余的图片显示了矩形 √2 中一个 c 型镖和一个 c 型风筝的位置。

5 结论

我们可以得出结论，科尔多瓦比例不只是一个数学发明。创造一个新的几何术语并非易事，但卡布雷拉和卡尔沃等艺术家在他们的艺术作品中都考虑到了这一点。数学家和艺术家在两个截然不同的领域进行研究，最终汇聚到一个共同点上：科尔多瓦比例是科尔多瓦清真寺的灵魂。

参考文献

1. Hoz, R.: La proporcion Cordobesa. Actas de la quinta asamblea de instituciones de Cultura de las Diputaciones. Ed. Diputacion de Cordoba (1973)

2. Hoz, R.: Rafael de la Hoz. Consejo Superior de los Colegios de Arquitectos de Espana. ISBN

8460977234. Cordoba (Spain) (2005)

3. Redondo, A., Reyes, E.: The cordovan proportion: geometry, art and paper folding. Proceedings of 7th Interdisciplinary Conference ISAMA 2008-Valencia, pp. 107–114, Spain, Hyperseeing, May–June (2008a)

4. Redondo, A., Reyes, E.: The geometry of the cordovan polygons. Vis. Math. 10(4) (2008b),

www.mi.sanu.ac.yu/vismath/redondo2009/cordovan.pdf

5. Redondo, A., Reyes, E.: Cordovan geometrical patterns and designs. Symmetry: Art and Science, 009/1–4. Special Issue for the Conference of ISIS-Symmetry. Symmetry of Forms and Structures, pp. 68–71, Wroclaw-Cracow, Poland (2009)

6 http://www.hashimcabrera.com/galeria.html

7 http://www.lacajadelagua.com/la_sexta_mirada/aut_luis.html

8 Antonia Redondo Buitrago and Encarnacion Reyes Iglesias, Geometry and Art from the Cordovan Proportion

青山不改，绿水长流，在下告退。

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