今晚诞生的美国菲尔兹奖得主，不仅是数学全才，还会表演评书《说唐后传》

刚刚，2026年菲尔兹奖正式揭晓。由于获奖人名单提前从官网泄露，两位中国数学家王虹、邓煜和俄裔加拿大数学家Jacob Tsimerman、美国数学家John Pardon毫无意外地摘得了这一殊荣。

其中Pardon 做数学的一大特点是他非凡的跨越边界的创造力，堪称“破壁人”。他用代数、几何、分析、拓扑等不同领域思想和工具，攻克了一系列长期困扰数学家的重要问题。而他的成长轨迹，正符合人们心中对“数学天才”的一切想象：高中时便发顶刊论文，博士毕业一年后即任普林斯顿大学正教授；同时他精通中文，还是出色的大提琴演奏者，展现出了一位青年数学家的独特魅力。

撰文 | 倪忆（加州理工学院数学系教授）

在 Freeman Dyson 那篇著名演讲里， 他把数学家分为两类：鸟和青蛙。鸟翱翔在天空，“喜欢那些统一我们思想、并将不同领域的诸多问题整合起来的概念。”青蛙生活在泥地里，“乐于探索特定问题的细节，一次只解决一个问题。”John Vincent Pardon 同时属于这两类。他是一位少见的既能创造宏大理论、又能解决经典难题的数学家。

John Pardon丨图源：普林斯顿大学

John Pardon的经历堪称“数学天才”一词的模板。他 1989 年出生于美国卡罗来纳州教堂山，父亲 William Pardon 是杜克大学的数学教授，一位代数几何专家。自小沐浴在数学中的 John Pardon，高中时就在知名数学期刊发表论文，本科时解决了有近三十年历史的公开难题，博士毕业一年即成为普林斯顿大学数学系正教授，2022 年起任石溪大学 Simons 几何与物理中心教授；2025 年他获得数学新视野奖，2026 年将获得菲尔兹奖。

如果要用一个词概括 Pardon 的数学风格，那么“破壁人”或许再合适不过。他打破的并不只是某一个猜想，而是不同数学领域之间那一道道看似天然存在的壁障。他熟练掌握代数、几何、分析、拓扑、概率等不同领域的工具，并把它们以人们意想不到的方式组合在一起攻克难题。

初试啼声

由于父亲的职业 ，Pardon 很早便身处浓郁的数学氛围中。小时候全家一起爬山，每当他走得疲惫时，父亲便不断给他出代数题。由于注意力完全投入到思考之中，他忘记了身体的劳累。五岁学习游泳时，他父母把同样的妙招告诉教练，于是教练也会不停地向他提问乘法题，他回答时竟然忘记了对于踩水的害怕。从那以后，Pardon 深深体会到数学具有一种特殊的力量——它能够让人完全沉浸于思考，从而暂时摆脱外界的不适与压力。

John Pardon 与父亲 William丨图源：William Pardon 主页

高中时候，Pardon 就在度量几何领域独立做出了原创工作，论文发表在知名数学杂志 Transactions of the AMS 上。他的研究聚焦于一个直观而又困难的几何问题：

给定平面上一条简单光滑闭曲线 C，不难证明，可以把 C 连续形变为一条凸曲线，使得在此过程中曲线始终没有自相交，并且任意两点之间的弧长保持不变。那么，能否在这一过程中，进一步要求让曲线上任两个点之间的平面距离始终不减小？

Pardon 彻底解决了这一问题，他的结论甚至不要求 C 是光滑的，只要 C 是可求长（rectifiable）曲线，那么答案就是肯定的。即便是成名数学家，能够证明这样的一个结论，也是值得欣慰的事情。Pardon 的论文中使用了线性规划、泛函分析、测度论等非常深刻的数学理论，很难相信一位高中生就能掌握这些大学数学本科都未必会涉及的内容。然而，这比起 Pardon 日后取得的成就来说简直不值一提。由此可见，Pardon 在高中时已经是一位非常成熟的数学家。这篇论文让 Pardon 获得了 2007 年英特尔科学竞赛第二名。

Pardon 中学期间连续三年参加国际信息学奥林匹克（IOI），获得三枚金牌。菲尔兹奖得主中，有不少人获得过国际数学奥林匹克金牌，包括今年获奖的邓煜和 Jacob Tsimerman，但是 IOI 金牌得主获得菲尔兹奖的，Pardon 似乎是第一位。

锋芒毕露

2007 年，Pardon 进入普林斯顿大学读本科。在大学期间，他完成了 6 篇高质量的论文，涉及度量几何、随机几何、代数几何、凸几何、低维拓扑。其中最出圈的一篇论文当属他关于纽结（knot）扭曲度（distortion）的工作。

高中时期，Pardon在网上阅读数学论文时，看到了著名数学家 Mikhail Gromov 于 1983 年提出的一个关于纽结扭曲度的问题。一个纽结就是三维空间里的一条简单闭曲线。对于三维欧氏空间里一条简单闭曲线 C 上的两个点，我们可以考虑两点之间沿着C的弧长，也可以考虑两点间的欧氏距离。大致而言，一个纽结的扭曲度衡量的是对于该纽结所在的同痕类（isotopy class）里的所有曲线，弧长与欧氏空间距离的差别最小是多少。Gromov 问所有纽结的扭曲度是否有上界，特别地，所有环面结（torus knots）的扭曲度是否有上界。

这个问题结合了度量几何和低维拓扑，其陈述是中学生都能理解的，但却难倒了 Gromov 这样的大数学家。Pardon 初生牛犊不怕虎，始终没有放弃思考这一问题。大三时，他曾一度认为自己已经完成证明，却在两周后发现整个证明“完全是错误的（complete nonsense）”。经过继续探索，大四时他终于找到正确的方法，证明了所有环面结的扭曲度没有上界，从而彻底解决了这一公开难题。

这篇论文发表于被誉为四大顶级数学期刊之一的 Annals of Mathematics。对于本科生而言，这是极其罕见的成就，也使他迅速受到数学界的关注。Pardon 的这一壮举不禁让人拿他同另外一位普林斯顿出身的菲尔兹奖得主John Milnor 相比较，后者也是本科时就在 Annals of Mathematics 上发表了一篇论文。巧合的是，Milnor 的论文是关于纽结的微分几何问题，而 Pardon 的论文是关于纽结的度量几何问题。

Pardon 大学本科时写的这 6 篇论文，除了一篇代数几何论文是跟普林斯顿大学的代数几何学家 János Kollár 合作，其余都是独自完成。Kollár 对于二人合作的缘起是这样描述的：有一个拓扑问题，Kollár 跟不少同事讨论过，都没有答案。一次晚餐时，他随口向 Pardon 提起这个问题，仅仅一周之后，Pardon 就把解答发给了他。Kollár 感叹，与他合作“更像是在与一位博士后合作，而不是本科生”。

大学时期的 Pardon丨图源：普林斯顿大学

尽管是数学专业，但 Pardon 的大学生活里不光有数学。令很多人意想不到的是，他系统学习过中文，因为他认为中文的书写非常具有挑战性。大一暑假时，他到北京师范大学参加了普林斯顿暑期北京中文培训班。大四时，他作为普林斯顿辩论队成员，获得了由中国中央电视台和新加坡传媒集团联合举办的国际中文辩论赛（前身为“国际大专辩论赛”）非母语组冠军。之后2011年，他又以表演单田芳评书《说唐后传》获得第十届“汉语桥”世界大学生中文比赛美国东部赛区冠军（与Bradley Roberts “罗晓波”并列），并获得赴中国长沙参加全球复赛的资格。所以本届菲尔兹奖得主中有三人能讲汉语……

John Pardon参加“汉语桥”比赛的报道丨图源：凤凰网

Pardon 还是一位优秀的大提琴演奏者，自六岁开始学习大提琴，两次获得普林斯顿大学学生交响乐团年度协奏曲比赛冠军。Pardon 认为演奏音乐与研究数学截然不同：数学有时可以帮助自己忘记疲劳，而演奏巴赫或柯达伊的大提琴作品则需要全部注意力，根本无法同时思考数学。

Pardon 在普林斯顿学生乐团丨图源：普林斯顿大学

2011 年，Pardon 从普林斯顿毕业后，进入斯坦福大学攻读博士学位。博士生第一年，他就完成了另一项代表性成果：证明三维 Hilbert–Smith 猜想。

Hilbert–Smith 猜想来源于 Hilbert 第五问题，后者的现代陈述方式是：如果一个拓扑群同时也是一个流形，那么这个拓扑群是否一定（作为拓扑群）同构于一个李群？这一问题在上世纪五十年代就被 Andrew Gleason、Deane Montgomery、Leo Zippin 以及山辺英彦等人的工作解决。

然而，在 Hilbert 的年代，还没有流形的现代定义，Hilbert 报告原文中甚至没有出现“流形”这个数学名词。Hilbert 本人采用了“连续变换群”这一术语，所以有人认为 Hilbert 的本意是“群在流形上的作用”，其确切陈述便是 Hilbert–Smith 猜想：任何能够忠实连续作用于流形上的局部紧群，都必须是李群。

Pardon 在三维情形证明了 Hilbert–Smith 猜想，证明中巧妙结合了群作用、三维拓扑和映射类群的方法。这篇论文发表在顶级数学期刊 Journal of the AMS 上。相比起他之前解决的关注度不算高的纽结扭曲度问题，这次证明三维 Hilbert–Smith 猜想的工作无疑非常出圈。

有趣的是，尽管 Hilbert 问题在数学界有着偌大的名声，但以前因为解决 Hilbert 问题而获得菲尔兹奖的只有 Paul Cohen 一个人：他因为证明连续统假设独立于 ZFC 公理系统而获得 1966 年菲尔兹奖。但是今年的获奖者中有两人跟 Hilbert 问题有关，除了 Pardon，另外一位是邓煜，他主要因为在 Hilbert 第六问题上的突破而获奖。

卓然成家

在斯坦福读博期间，Pardon 选择了辛几何作为自己接下来的深耕方向。他的导师是 Wolf 奖得主、辛几何与切触几何的一代宗师 Yakov Eliashberg。

在辛几何及其相关领域，Pardon 取得了一系列重大的基础性成果，他的独特思想和广博视野为这一学科带来了新的推动力。他能够获得菲尔兹奖，主要是靠这方面的工作。鉴于笔者并非这一领域的专家，本文只能简单描述一下笔者对 Pardon 工作的粗浅理解。

1. 构造虚基本链的代数方法

在辛几何里，一个核心问题是对伪全纯曲线的模空间构造虚基本链（virtual fundamental cycle）。这一问题在 Gromov-Witten 理论以及 Floer 同调理论中都有着根本的重要性。许多大师级数学家在这个问题上做过重要工作，包括中国数学家阮勇斌、田刚、李骏等人。传统上，构造虚基本链偏重于分析方法，需要对初始数据做适当的扰动，经常包含大量繁琐的技术细节，对最一般情形的讨论动辄上千页。

在 Pardon 的博士论文里，他采用了一个跟前人非常不同的方法来构造虚基本链，为现代辛拓扑提供了新的理论基础。他运用高阶范畴论和导出几何（Derived geometry）的语言，将分析的技术细节用代数结构加以提炼。作为应用，他给出了 Gromov-Witten 理论的新构造以及（有理系数的）Arnold 猜想的新证明。当然，Pardon 所能做的不只是重建已知结果。他把这套理论框架应用到切触几何，第一次在一般情形下严格构造了切触同调。（几乎跟 Pardon 同时，鲍尔考和本田公（Ko Honda）用更加经典但同样简洁的方法给出了切触同调另一种构造。后来经典的构造方法又有许多重大进展，整个领域的面貌跟十几年前已经截然不同。）

Pardon 的这一工作为他赢得了数学界更广泛的认可。2015 年，他刚刚获得博士学位，就被母校斯坦福大学跳过博士后阶段直接聘为助理教授。仅仅一年后，27 岁的 Pardon 就成为普林斯顿大学数学系正教授。他是普林斯顿大学历史上最年轻的正教授之一。据笔者所知，此前有三位数学家博士毕业两年就当上普林斯顿数学系正教授，分别是 William Thurston、Andrew Wiles 和 Manjul Bhargava。博士毕业仅一年就当上普林斯顿数学系正教授的，Pardon 应该是第一个。

2. 深谷范畴的局部化与同调镜像猜想

同调镜像猜想是菲尔兹奖得主 Maxim Kontsevich 在 1994 年提出的一个深刻猜想，它把 Calabi-丘流形的辛几何与复代数几何联系在一起。在 Calabi-丘流形上，从辛几何角度可以定义深谷范畴 （Fukaya category），从复代数几何角度可以定义凝聚层的导出范畴。同调镜像猜想断言，对于每一个 Calabi-丘流形 X，都存在一个“镜像流形” Y，使得 X 的深谷范畴等价于 Y 的凝聚层的导出范畴。

Pardon 与 Sheel Ganatra 、 Vivek Shende 合作发表三篇论文，发展了一系列新工具，可以用于计算深谷范畴。他们定义了一类叫作 Liouville sectors 的带边 Liouville 流形，并证明这些流形的深谷范畴具有良好的协变函子性质。如果一个 Liouville 流形能够用 Liouville sectors 覆盖，在一定条件下，他们可以把原流形的深谷范畴的计算转化为对 Liouville sectors 的深谷范畴的计算。这种局部—整体原理在数学各个领域经常出现。在这一系列工作中，他们发现了深谷范畴与柏原正树和 Pierre Schapira 的微局部分析之间的密切联系。作为应用，他们验证了很多情形下的同调镜像猜想。

3. MNOP 猜想的彻底解决

MNOP 猜想是计数几何（Enumerative geometry）里的一个核心问题，在2003—2004 年由 Maulik、Nekrasov、Okounkov 和 Pandharipande 四人提出。这个猜想断言，对于三维 Calabi-丘簇，其 Gromov-Witten 不变量跟 Donaldson-Thomas 不变量是等价的。Pandharipande 学派在这个猜想上做了大量工作，对大多数情形证明了该猜想。

Pardon 在 2023 年发表了一篇预印本文章，宣布彻底解决 MNOP 猜想。他采用了全新的思路，证明三维复代数簇上的某些特定的一维链的 Grothendieck 群由“局部曲线”自由生成。作为一个推论，三维复代数簇上的曲线计数问题可以转化为局部曲线上的曲线计数问题。而对于局部曲线，其 MNOP 猜想此前已经被 Bryan-Pandharipande 和 Okounkov-Pandharipande 证明。Pardon 的这个证明从概念上比以前大量特殊情形的证明更加简洁优美，而且其方法可以运用到许多其他计数几何问题上。

如果说 Pardon 以前的工作让他成为菲尔兹奖的重要候选人，那么 MNOP 猜想的彻底解决无疑为他竞争菲尔兹奖加上了一枚重量级的砝码。

破壁前行

从高中时期运用线性规划、泛函分析、测度论研究度量几何，到本科时把拓扑与几何结合解决纽结扭曲度问题；从博士第一年把群作用、三维拓扑、映射类群融为一体证明三维 Hilbert–Smith 猜想，到博士论文中借助高阶范畴论、导出几何重建辛几何基础；从建立深谷范畴的局部－整体原理，再到以全新思想解决 MNOP 猜想，Pardon 的研究轨迹囊括了当代几何与拓扑的多个核心方向。尽管他研究的大部分问题都属于几何与拓扑，但他也大量使用了代数、分析等领域的工具。他本人的研究还包括概率论，对于计算机也有深厚造诣。很难用一个狭义的学科标签来定义他。

在今天的数学研究中，各个方向不断细分，专业壁垒越来越高。许多数学家终其一生都深耕于一个相对狭窄的领域。而 Pardon 却始终能够自由穿梭于不同领域之间，打破那些看似牢不可破的壁障。正如他自己所说，他总是愿意走向那些“根本不知道该从哪里开始”的问题，并一次又一次地找到别人未曾想到的道路。

他是一位真正的破壁人。

特 别 提 示

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