高数课本总被骂“防自学”，为什么普林斯顿这700页讲义却成了“救命稻草”？

前阵子写《那些年我们翻烂的高数和线性代数，是怎么变成天书的？》那篇时，聊到过短视频和论坛评论区里的大型诉苦现场。有人回忆大一刚领到高数课本，映射和函数还没捂热乎，翻过几页直接一头撞上极限的 ε-δ 语言，当场就被拍在沙滩上；最扎心的一条热评是这么说的：“不是我脑子笨，是这书压根不是写给想学懂的人看的，它是写给本来就懂的人复习备忘的。”

其实就算早几年毕了业、眼下不用考高数，平时学别的东西也常碰到这种落差。刷做菜短视频，镜头里“油温七成热，下锅翻炒两下出锅”，看着是行云流水，到了真等自己系上围裙站到灶台前，连先下蒜末还是先倒酱油都发慌。学软件、做手工也是同理。大家常自嘲“一看就会，一做就废”，病根其实都一样，成品教程只给我们看最后做成功的那套标准步骤，至于上手前走了多少弯路、踩过哪些坑，放出来的内容全被剪掉了。

很多数学课本也是这个路数，为了篇幅紧凑，纸面上只留最后推出来的定理和工整步骤。偏偏有位普林斯顿的数学博士反着来干的，别人省掉不说的摸索过程，他全给写进讲义里了。初稿拿给学生试读时，有人直接看懵了，跑来问他：

“例题的详细解答都去哪儿了？我看到的怎么全是大段文字，没几个公式！”

这位博士非但没删，还高高兴兴把这句吐槽原封不动印在了全书前言的第一页。

2007 年，这本七百多页的讲义由普林斯顿大学出版社正式出版。国内引进时起了个四平八稳的名字，叫《普林斯顿微积分读本》，我相信许多理工科学生都耳熟能详，其实它的英文原名叫 The Calculus Lifesaver ，直译过来是“微积分救生圈”。这个听着像宣传噱头的书名，其实还真不是出版社为了卖书硬编出来的。

事情要回到 1999 年底，当时的阿德里安·班纳（Adrian Banner）在普林斯顿数学系读博的第三年，这时被分配去带大一微积分的分班小课。到了期末考前的复习周，任课教授们照惯例只打算排几场简单的答疑，班纳却跑去提议要办一场完整的串讲复习课。

教授们一口回绝：“不行，我们从不搞这个。”

换别人碰一鼻子灰也就算了，只是他前前后后去和教授们软磨硬泡了三次。

磨到最后，教授们终于甩出一句：“你既然这么想干，干脆你自己去讲吧！”

他当场接招：“我讲就我讲！”

他去订了间只有 50 个座位的教室。后来他跟普林斯顿校报回忆，第一场办完没过几天，教室里一下子涌进了 130 人，把教室塞得是满满当当。数学系主任注意到这阵仗，就顺势请他把那学年余下的复习课全接了下来。

这门晚间课不考勤，学生可以爱来就来，听一段走也行；平时每周两小时，一到期中考前就拉长到四五个钟头，还老是因为学生围着问问题拖堂。

他自己就曾说过：“人家既然开口找我帮忙，我总不能直接走人吧。”

在此期间他还在复习课上自己发问卷收集学生的反馈，后来跟校报记者打趣说，自己这么干八成是违反了学校规定了。

后面收上来的无记名字条也是五花八门的，有好几张拿他名字缩写表白求婚的，“我爱 AB，你愿意娶我吗？”，他打趣说可惜没署名回不了信，“年轻那会儿收到的好像还更多一点”；有一学期学生流行用俚语夸他 “You’re a beast”，本来是夸他讲课很猛，字面意思是“你是头野兽”，他就顺着字面意思装傻：“我知道自己不是天天都刮胡子。”

不少学生在纸条上写，这门晚间课简直救命（lifesaver）。等班纳把这套讲义前后打磨四年正式出书时，干脆直接拿学生的这句评价当了书名。

看懂了答案，为什么自己还是不会做？

普林斯顿的学生白天明明都有正课，手里也有标准的配套教材，为什么大晚上还要排着队去听他的课呢？

班纳后来在采访里说，他在台上解一道题，除了把答案算出来外，更想讲清楚“怎么看出这道题该这么去下手”，好让学生下次遇到新的题目时自己也能解的出来。

在他看来，自己表面上在带微积分复习课，实际上是在借着微积分教解题思路。在书的前言里他也解释过，光看印好的标准解答，我们并不知道当初是怎么想到这个解法的，所以他在书里尽量把解题时的“内心独白”写出来，把拿到题目后怎么分析，具体怎么去试探的过程全部摊开来聊。

我相信学过微积分的人大多都吃过这种哑巴亏。在数学论坛上就有个很有意思的求助帖，一个学生对着余割函数的积分犯难，答案以前也见过，可他还是想不通，发帖问：“到底有什么提示，能让人想到要像答案那样去乘这一项呢？”

这就是很多教材和标准答案最让人无奈的地方了，书上印出来的推导，每一步往下算都是对的，我们顺着读完也会觉得自己好像是懂了，可唯独就是在动笔之前“怎么判断该用哪个工具”这一步，书上一般都是只字未提。如果是遇到不按套路出牌的题目，哪怕基础公式背得再滚瓜烂熟，照样还是不知道从哪里切入。

在1991 年的春天，在美国东南部一所偏重工科的公立大学里，数学教育学者安妮·塞尔登（Annie Selden）和同事们找来 28 名正在修常微分方程的本科生，收起计算器，给他们发了一套卷子。其中有一道式子并不复杂的方程题：

找出方程 4x³ − x⁴ = 30 的至少一个实数解，或者说明为什么无解。

这 28 个学生的数学底子都是相当不错的。其中有 25 个学工科、3 个学数学，除了 1 个人在同时修第三学期微积分和微分方程，其余 27 人都已经上过第三学期微积分。他们当时的平均绩点超过了 3.1，入学六年内毕业的比例接近八成，差不多是全校平均水平的两倍；后来至少有七个人拿到硕士学位，其中一位还一路读到了数学博士。

结果是这 28 个学生里，有 27 人动笔去算了，但是最后却没有一个人做出来。

从答卷上看，大家都在认真的想办法，有 12 个人用熟练的代数方法去缩小 x 的取值范围；6 个人拿 30 的因数去试有理数解，没试出来就直接断定无解，漏掉了无理数的可能；还有 4 个人算出了一阶导数、也令它等于零了，但是写到这儿却停了笔。

更有意思的是随后的对照测试，在研究者收走卷子后，紧接着考了十道最常规的基础题，正好对应前面用到的微积分和代数知识点，结果哪怕把某道题所需的基础题全答对了，换到前面那种没给现成套路的题目上，能算对或是接近算出来的比例，也就刚过三分之一而已。

现在我们翻开这本《普林斯顿微积分读本》英文原版的第 5 页，看看班纳给的思路能不能帮上忙。

这本书的头两章还没有进入微积分，先带我们把函数、图像和三角函数的基础重新梳理了一遍。第 5 页讲怎么用图像找函数的值域，也就是函数算出来的数值能落在什么范围里。班纳给出的办法非常的直观且容易理解，在画出函数图像后，我们可以想象在图像最左边和最右边各放一排灯，水平往中间的 y 轴打光；曲线挡住光线后，会在 y 轴左右两侧投下影子，这两片影子合起来覆盖的刻度范围，就是函数的值域。

我们顺着这个画面回头看刚才那道 4x³ − x⁴ = 30 。与其去硬解一个四次方程，不如换个问法，如果画出函数 y = 4x³ − x⁴ 的曲线，它在 y 轴上投出的影子，最高能不能盖到 30？

接下来只需要看这条曲线最高能走到哪儿。

当 x 小于 0 或大于 4 时， 4x³ − x⁴ 都是负数；用导数检查整条曲线的升降就能看出，它在 x = 3 之前一直在上升（只在 x = 0 处短暂走平，没有折返），过了 x = 3 就一路下降。所以在整个实数范围内， x = 3 就是唯一的最高点。

把 3 代进去一算： 4 × 27 − 81 = 27 。

曲线最高只能到 27，投在 y 轴上的影子最高也就到 27，自然也就碰不到 30，所以这么看的话原方程是没有实数解的。

再回头看刚才那场测试，卷面上有 4 名学生其实已经算出了一阶导数，也令它等于零了，如果我们顺着他们算出的导数继续往下走，要得出“原方程无解”的结论，关键一步就是把求出来的极值放回“曲线投在 y 轴上的影子最高能不能碰到 30”这个情景画面里。而这种把代数式转成图像高低的直觉，班纳在英文原版第 5 页，在还没讲到任何微积分公式之前，就已经提前带着我们铺垫过了。

把七百多页微积分写得像当面聊天

把动笔前的思考过程全都写进书里，篇幅自然是短不了的。全书足足有七百多页，刚拿到手时我们难免会担心这么厚一本数学书，读起来会不会让人犯困？

其实班纳很清楚，没人会在考前从第一页一直读到第七百页。他在前言里直接把学生的焦虑写了出来：“救命！期末考只剩一周了，我还什么都不会，该从哪里看起？”紧接着他就用了整整的三页教大家怎么去按需挑着读，还在全书页边配了导航小图标，哪里是核心重点、哪里是例题，一眼就能区分清楚。

最有意思的是一个海浪图标，作者亲自在旁边劝我们省点力气，大意是这段纯属拓展兴趣，如果要是时间紧张，直接跳到下一节就行。

正文读起来不像平时那种刻板的教科书，也跟班纳早年给人补课的一次碰壁有关。高中刚毕业那会儿，他在父母家里给高二、高三的学生补习微积分，讲到逆链式法则时，拿“呕吐”打了个比方。第一个十几岁的学生听得很起劲，觉得上课聊这个非常有意思；等他照搬去给下一个学生讲，对方看着他说：“这都讲的什么呀，实在太恶心了。”

那次经历让他意识到，不同学生的接受方式差别很大，讲数学不能只会一套说辞。好笑的是在十几年后他在普林斯顿大学出版社正式出书，翻开第 2 页解释“函数到底是什么”，还是没忍住把这个比方捡了回来直接写了进去。

他先把函数讲成一套“把输入变成输出”的转换规则：

在平方函数里，没法把“一匹马”代进去，因为我们算不出一匹马的平方；但如果把规则换成“数动物有几条腿”，输入马就得到 4，输入蚂蚁得到 6，输入三文鱼得到 0。紧接着他又假设家里有只消化不良的小狗，吃下食物后会吐出来，只要它每次吃墨西哥卷饼吐出来的颜色都固定不变（不能今天红、明天绿），那么从“吃进什么食物”到“吐出什么颜色”，在数学上就是一个合格的函数。等到下一页讲函数的值域（也就是所有可能出现的结果）时，他还顺带调侃了一句：实在不敢细想这个值域里都有哪些颜色，不过亮蓝色应该多半不在这里面。

到了后面的微积分核心章节，遇到初学者最容易犯迷糊的地方，他也会直接点破。比如第 20 章讲反常积分的比较判别法，也就是通过“比大小”来判断一个积分算出来到底是有限值（收敛）还是无穷大（发散）。很多人做题时容易把不等号的方向给找反了，然后算了半天，只推出来一个非负积分“小于等于无穷大”，或者“大于等于某个有限数”。

一般教材写到这里，通常只留下一句“此时判别法失效”。但是班纳却顺着这个结论说起了反话：

这太棒了，现在我们终于知道它要么收敛、要么发散了，这可真是了不起（原文用了美式口语里敷衍欢呼的感叹词 ），忙活半天等于什么也没算出来，所以千万别这么干。到了下一章总结方法时，他还专门提醒我们要当心掉进这种白忙活的陷阱，甚至把这个口语词收进了全书最后一页的正式索引里。

就连最容易劝退大一新生的 ε-δ 极限定义，处理方式也和我们熟悉的国内高数课本里是截然不同的。就像文章开头聊到的那样，不少人刚学完映射和函数，翻过几页就一头撞上“对任意给定的 ε ，总存在 δ ”的严格定义，连极限的直观画面都还没建立起来，人就已经绕晕了。

班纳则是反过来安排，在第 3 章刚引入极限时，他明确说先不用纠结那些繁琐的严格细节，靠图像和直觉就足够学懂后面的求导与积分，还有极限的正式定义，被他放到了全书末尾（英文原版第 669 页起）的附录 A。

就算我们翻到附录 A，他在给出正式定义之前，还是先拿一局双人游戏来打比方，假设我们要验证曲线在 x 靠近 a 时是不是趋近高度 L 。第一步由我们先走，以 L 为中心在纵轴上下各画一条水平线，规定曲线不准超出这个上下边界；第二步轮到作者走，他以 a 为中心在横轴左右圈出一小段范围，只要这段范围里的曲线（ a 这个点本身除外）全都落在刚才那两条水平线之间，这一回合就算他过关。

哪怕我们把上下两条线收得越来越窄，只要他每次都能根据我们画的线圈出对应的范围，极限就是成立的。所以在给出正式定义后，他特意强调先后顺序：“有一点非常关键：必须等你先走，再轮到我走！”这就把高数课本里最让人头疼的“先有任意 ε ，再找存在 δ ”，讲成了好理解的先后手规则。

这种抓重点不兜圈子的讲法，和班纳自己的求学与工作经历也分不开。

他在普林斯顿读博时师从调和分析大家埃利亚斯·斯坦（Eli Stein），回忆导师教给他最重要的一课，就是不被表面花哨的枝节分心，直接抓住问题的核心。2000 年读完博三那个暑假，他去量化投资机构 INTECH 实习。后来他在普林斯顿数学系的校友通讯里回忆，自己此前对金融毫无兴趣，纯粹是想拓宽眼界；去了才发现这家公司非常看重数学理论，大量用到概率论和随机微积分，怎么把纯数学理论和实际观测数据结合起来，反而成了最吸引他的地方。

2002 年博士毕业加入这家公司后，他其实也没离开普林斯顿，只是穿过校园边的拿骚街，去了马路对面的公司上班。在此后十来年里，他一直同时做着三件事：

白天在马路对面做量化研究（早年任研究总监，后来出任 CEO 兼首席投资官），晚上走回普林斯顿教室给本科生串讲微积分，周末还作为钢琴手弹爵士与民谣，和校友组的乐队一起去婚礼、纽约餐馆甚至林肯中心演出。

不少学生盼着他在学校正式开一门课，他说自己兼顾这三头已经够忙了，“我现在已经达到某种平衡态了，可不打算再加什么扰动”。后来随着书和配套的复习课录像传开，连远在印度班加罗尔都有人发邮件来找课程视频，顺带告诉他网上有个粉丝主页叫“阿德里安·班纳是数学之神”。

他在校报采访里拿这事打趣：“我可不收祭品，也不接受祈祷。希望那个主页已经没了吧，反正也没几个人。”

这本书适合谁，又该怎么读

我在翻看豆瓣上的评论的时候，国内读者对这本书的反馈很有意思。

有人记录自己在图书馆拿荧光笔一口气画完了前 300 页，还专门在括号里补了一句：“是的，你并没有看错，不是《普林斯顿历史》”；也有人感叹作者把微积分写得像小说一样，读着读着甚至会产生一种“微积分很简单”的错觉。

不过，这种原来微积分很简单的错觉，刚好也是我们读这本书时最需要留神的地方。

布朗大学数学教授史蒂文·米勒（Steven J. Miller）曾在暑期微积分课上单独拿它当教材用。他的反馈很中肯，学生们一致夸这是自己读过最清楚的数学教材之一，但如果拿它当唯一的主教材，书里只有带详解的例题，缺少供课后练习的习题集。也有基础不错的读者客观指出，它对零基础的初学者非常友好，但对于已经有底子、想钻研严格数学分析证明的人来说，会觉得它知识密度还是偏低，更侧重具体的解题方法。

这其实也正好说明了它的定位，这本书原本就是按课程辅导指南来写的，2010 年普林斯顿大学的微积分课（ MAT 104 ）也是把它放在主教材 Thomas' Calculus 旁边当伴读用的。正因为书里把每一步思路都讲得太好懂了，我们顺着往下读的时候很容易只用眼睛去看，不去亲自动手算，最后还是停留在“看懂了别人怎么解”。

班纳自己在前言里就提醒过，在读完一道题的解答，过阵子一定要合上书，自己回头独立重做一遍。我们平时读的时候，也可以在看完例题开头的思路分析后，先拿张纸把后面的步骤遮住，自己在草稿纸上试着往下算两步；读完一章，再找些配套习题练一练，才算真正把书里的思路变成自己的东西。

从定位来看，有几类朋友放一本在手边会很实用。

如果是高中生，或者刚上大学的理工科新生，正式学高数前先翻翻它，或者拿来配合学校教材一起看，能少走很多弯路。

如果正在准备 AP、IB、A-Level 等国际课程，或者以后免不了要读英文论文、看英文代码，拿它做数理表达的过渡读物也很合适。

还有不少已经工作的人，总觉得当年在大学里高数基础没打牢，如今做工程、写程序，或者接触机器学习与量化模型，想重新补一补。就像有位读者感慨的：“大学欠下的债，终于是要还的。”下班后睡前翻上几页，读起来也不觉得枯燥吃力。

这本书在国内有中译本，要是下周就得参加中文高数考试、急着突击，看中译本可以先拿来救急，但只要时间没那么赶，要是有一点基础的英语阅读底子，我更推荐直接读普林斯顿大学出版社（PUP）的英文原版。

很多人一听“七百多页的英文原版”容易打退堂鼓。其实数学书有一大半内容是靠全世界通用的公式和图像来表达的，剩下的文字部分，班纳用的也都是很日常的英语短句，很少见到绕弯子的长难句，有一点高中或大学英语基础，读起来并不会太费劲。

直接读英文原版，一方面能原汁原味保留他讲课时的幽默感和语气（比如叮嘱指数曲线不会碰到横轴时，他特意把第一个否定词加粗，强调“不会，我再重复一遍，不会”）；另一方面以后如果要读英文文献或看代码文档，像“配方”“反常积分”这类基础数学概念在英文里怎么地道表达，跟着他的推导读下来自然也就熟了。

自己读起来到底吃不吃力，也不用凭感觉去猜。普林斯顿大学出版社官网一直免费开放着第 1 章完整的 24 页英文样章 PDF，下单前不妨先翻开第 2 页到第 6 页（正好是前面聊过的小狗吐颜色和两排水平灯那几节），花十分钟试读一下大概就心里有数了。

另外，Vimeo 上还公开挂着班纳在 2006 至 2007 学年录下的全套 24 讲普林斯顿复习课免费录像，每讲大约两小时，被普林斯顿工学院学生会列为“传奇级别”的课程资源，拿来配合英文原版书一起学再合适不过。

前阵子写完国内“防自学”教材那篇文章后，后台收到不少读者私信，问有没有真正适合自学的数学书可以推荐。推书这件事我一直比较谨慎，只有自己读过、确实觉得写得好的书，才会拿出来分享给大家。

说起来，多年前这本书刚出版的时候，我就有幸读到了它。不敢说自己数学学得有多么的好，但它确实帮我把数学思路打开了，后来在数学、物理和工程里遇到问题，处理起来都得心应手很多。我妹妹数学成绩一直特别好，也是因为很早就接触了这本 Lifesaver 和波利亚的《怎样解题》（ How to Solve It ），这两本书帮她很早的建立起了数学直觉，她在刚上大学就已经去给高中生补课了，机构也非常愿意请她，别人甚至也愿意支付她一天两节课 300 美元的报酬。

巧的是，这两本书连同近两年新出的代数几何著作 The Rising Sea ，全都出自普林斯顿大学出版社（PUP）。 The Rising Sea 也是一本非常不错的书，不过那本门槛高不少，今天主要聊微积分这一本，就不过多展开了。我把这本英文原版 The Calculus Lifesaver 放在下面的卡片里了，想在手边备一本的朋友，直接点开就能看到：

很多时候，我们总怀疑自己是不是天生没长学数学的脑子。其实回过头看，往往只是当年手里的课本写得太过于简略和抽象，只留下了最后走通的标准步骤，把中间摸索和试探的过程全都省略掉了。现在有人愿意花七百多页的篇幅，把那些省略掉的话一句句补上，哪怕当下不用再迈入考场，翻开看看当年卡住我们的地方到底是怎么回事，也是一件挺痛快的事。

特别鸣谢：感谢普林斯顿大学出版社（Princeton University Press）的邀约与支持。作为一家长期深耕基础科学与学术出版的机构，他们不仅出版前沿专著，也留下了像《普林斯顿微积分读本》（The Calculus Lifesaver）这样真正替学习者着想的经典讲义。后面在《学习的乐趣》专栏里，我们还会挑更多值得细读的好书慢慢聊。